单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)=\left( e ^x-1\right)\left( e ^{2 x}-2\right) \cdots\left( e ^{n x}-n\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $n$ ！
$\text{B.}$ $(n-1)$ ！
$\text{C.}$ $-n$ ！
$\text{D.}$ $-(n-1)$ ！
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{ e }$
$\text{D.}$ $\frac{2}{ e ^2}$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t,\end{array}\right.$ 参数为 $t$ ，则 $\left.\frac{ d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leq 0 .\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^3\right)-2 x^2 f(x)}{\ln \left(1+x^3\right)}=$
设曲线 $y=f(x)$ 和 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共的切线，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{n}{n+2}\right)=$
① $y=(x \sqrt{x}+3) e^x$
② $y=\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}$
已知 $y=f\left(\frac{2 x-1}{2 x+1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan x^2$ ，则 $y^{\prime}(0)=$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3 x-4}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=a x^2$ 与 $y=\ln x$ 相切，求 $a$ 的值及其公共切线．
已知 $y=\sqrt[3]{\frac{x(x+1)(x+2)}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+x\right)}}(x>0)$ ，求 $y^{\prime}$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 是单调可导的函数，经过点 $(2,3)$ ，函数 $y=g(x)$ 是由 $y=f(x)$ 确定的反函数．若 $f^{\prime}(2)=4$ ，求 $g^{\prime}(3)$ ．
已知 $f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots(x-n)$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x+2 a e^x, x < 0 \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, x \geq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ ．
从 $\frac{d x}{d y}=\frac{1}{y^{\prime}}$ 导出 $\frac{d^2 x}{d y^2}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^3}$ ．
设 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导，且 $f^{\prime}(x)= e ^{f(x)}, f(2)=1$ ，求 $f^{\prime \prime \prime}(2)$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 是可导的函数，且 $f^{\prime}(x)>0, b$ 为定义域内任一点，求曲线 $y=f(x)$在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴交点的坐标．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明函数 $f(x)=|x| \sin x$ 在 $x=0$ 处二阶导数不存在．
用导数的定义证明：若 $f(x), g(x)$ 均可导，则 $[f(x) g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$ ．