填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{3}{x}=$
曲线 $y=\cos 2 x$ 上横坐标为 $\frac{\pi}{4}$ 的点处的切线方程为
设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{(n)}(x)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)=$
函数 $f(x)=x^3+3 x^2-9 x$ 的凹区间为
积分 $\int \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} d x=$
微分方程 $y^{\prime}-y \cot x=0$ 的通解为
微分方程 $x^2 \frac{d y}{d x}=2 x y+3$ 的通解是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=t \sin t\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}$ ．
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2} \ln ^2 x d x$ ．
计算定积分 $\int_0^2 \max \left\{x, x^2\right\} d x$ ．
计算定积分 $\int_{-2}^2 x^2 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 x e ^{-x}$ 的通解．
求由曲线 $y=x^2-4$ 与 $y=2-x$ 所围图形的面积．
用铁皮加工容积为 $V$ 的圆柱形有盖容器，问圆柱形的高与底面半径为何值时，所用的材料最省？
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明：对任意 $x_1>0, x_2>0$ ，有
$$
f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)>f\left(x_1+x_2\right) .
$$
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，在区间 $[a, b]$ 上定义函数
$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t
$$
证明：方程 $F(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内只有一个根．