单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & x \\ 4 & 9 & x^2\end{array}\right|=0$ ，则 $x=()$ 。
$\text{A.}$ 2 或 -3
$\text{B.}$ 2 或 3
$\text{C.}$ -2 或 3
$\text{D.}$ -2 或 -3
设 $A , B$ 为任意方阵，则必有（ ）。
$\text{A.}$ $A B =0$ ，则 $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $( A B )^T= A ^T B ^T$
$\text{C.}$ $( A + B )( A - B )= A ^2- B ^2$
$\text{D.}$ $A ^2+ A B =0$ 且 $A$ 可逆，则 $A + B =0$
设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1-x_2+x_3=0 \\ x_1-x_2-x_3=0 \\ \lambda x_1+x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解，则 $\lambda$ 为（ ）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
向量 $\beta =(-1,1,0,1)^T$ 由向量组 $\alpha _1=(5,0,1,2)^T, \alpha _2=(4,1,0,1)^T$ ， $\alpha _3=(1,1,1,0)^T$ 线性表示的表示式是（ ）．
$\text{A.}$ $\beta =2 \alpha _1- \alpha _2+ \alpha _3$
$\text{B.}$ 不能表示
$\text{C.}$ $\beta =2 \alpha _1- \alpha _2- \alpha _3$
$\text{D.}$ $\beta =2 \alpha _1+ \alpha _2+ \alpha _3$
向量组 $\alpha _1=(1,0,1)^T, \alpha _2=(2,3,5)^T, \alpha _3=(1,1,2)^T$ 的秩为（）．
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
设 $\alpha _1=(1,-1,0)^T, \alpha _2=(1,2,3)^T, \alpha _3=(2,0,2)^T, \alpha _4=(3,1,4)^T$ ，则下列不是该向量组的极大线性无关组的是（ ）．
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _3$
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2$
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$
$\text{D.}$ $\alpha _2, \alpha _3$
设 $\eta_1, \eta_2$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的两个不同的解，则下面成立的是
$\text{A.}$ $2 \eta_1-3 \eta_2$ 是 $A x = b$ 的解
$\text{B.}$ $3 \eta_1-2 \eta_2$ 是 $A x = b$ 的解
$\text{C.}$ $\eta_1+\eta_2$ 是 $A x = b$ 的解
$\text{D.}$ $\eta_1-\eta_2$ 是 $A x = b$ 的解
设 $\lambda=2$ 为可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，则矩阵 $\left(\frac{1}{3} A ^2\right)^{-1}$ 有一个特征值等于
（ ）
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)=$ $\qquad$
矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)$ 的最简形矩阵为
向量 $\alpha _1=(1,1,1)^T$ 与 $\alpha _2=(2,2,2)^T$ 线性相关还是线性无关？
行列式 $\left|\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 5 \\ 4 & 6 & x \\ -4 & -1 & 2\end{array}\right|$ 中元素 $x$ 的余子式为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right|$ 的值
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -1 & 2\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 的值
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，判断矩阵 $A$ 是否可逆若可逆求其逆矩阵。
解矩阵方程 $\left(\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -2 & 7\end{array}\right) X =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2\end{array}\right)$
求非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+x_3-x_4=1 \\ x_1-x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-x_2-2 x_3+2 x_4=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 的通解．
求矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量