单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微是两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 和 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在的
$\text{A.}$ 充分条件；
$\text{B.}$ 必要条件；
$\text{C.}$ 充分必要条件；
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
函数 $u=x y^2+y z^3$ 在点 $P(2,-1,1)$ 处的梯度 $\left.\operatorname{grad} u\right|_P=$ ．
$\text{A.}$ $5 $
$\text{B.}$ $-5$
$\text{C.}$ $(1,-3,-3)$
$\text{D.}$ $(-1,-3,-3)$
二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x \cos x$ 的特解形式应为 ．
$\text{A.}$ $A x \cos x+B x \sin x$
$\text{B.}$ $\quad x(A x \cos x+B x \sin x) ;$
$\text{C.}$ $(A x+B) \cos x+(C x+D) \sin x$
$\text{D.}$ $x[(A x+B) \cos x+(C x+D) \sin x]$
设 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的部分，则曲面积分 $\iint_S\left(z^2-x^2-y^2+1\right) d S=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$ ；
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$ ；
$\text{C.}$ $\sqrt{2} \pi$ ；
$\text{D.}$ $-\sqrt{2} \pi$.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=1$ 处收敛，则该级数在 $x=-4$ 处 ．
$\text{A.}$ 发散；
$\text{B.}$ 绝对收敛；
$\text{C.}$ 条件收敛；
$\text{D.}$ 敛散性不能判定．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=x^{y+1}(x>0, x \neq 1)$ ，则 $d z=$
两次积分 $\int_1^3 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^2 e^{y^2} d y=$
四阶微分方程 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为
设曲线 $L$ 为 $x^2+y^2=R^2$ ，则曲线积分 $\oint_L|x| d s=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leq 0, \\ 1+x^2, & 0 < x \leq \pi,\end{array}\right.$ ，則其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f\left(3 x-2 y, x y^2\right), f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
求曲面 $z=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 上平行于平面 $3 x+2 y-12 z=0$ 的切平面方程
已知三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，其面积为 $S_0$ ，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值．
设球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 内任一点 $(x . y . z)$ 处的密度 $\mu(x . y . z)=(x+y+z)^2$ ，试计算该球体的质量．
计算曲线积分 $\int_L\left(y+\frac{1}{1+x^2}\right) d x+(\sqrt{\sin y}-x) d y$ ，其中 $L$ 为由点 $A(-1,1)$ 沿上半圆周 $x^2+(y-1)^2=1(y \geq 1)$ 到点 $B(1,1)$ 的一段孤．
计算曲面积分 $\iint_S x(8 z+1) d y d z-4 y z d z d x+2\left(1-z^2\right) d x d y$ ，其中 $S$ 为曲面 $z=1+x^2+y^2$ 上被平面 $z=3$ 截下部分的下侧
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 2^n}$ 的收敛区间（含端点）与和函数．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减的正值数列，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-a_{n+1}}{\sqrt{a_n}}$ 收敛．