解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限: $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$.
计算：$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x\left(1+\sin ^2 t\right)^2 \mathrm{~d} t}{x^2 \sin x}$.
解答如下问题:
(1)叙述闭区间套定理.
(2) 用闭区间套定理证明聚点定理.
证明: 若闭区间 $[a, b]$ 上的单调有界函数 $f(x)$ 能取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值，则 $f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数.
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且已知
$$
x_1, x_2 \in(a, b), x_1 < x_2 \text { 且 } f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right) < 0 .
$$
证明: 存在 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(1) 证明: 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，则
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .
$$
(2) 若去掉 “一致连续” 能否推出 " $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ " ? 若可 以，请证明，否则举出反例.