单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
定义有理数复数为实部和虚部均为有理数的复数, 无理数复数为实部和虚部均为无理数的复数, 半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数, 已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理数, 则三角形重心对应的复数是
$\text{A.}$ 只能是有理数复数或半有理数复数
$\text{B.}$ 只能是无理数变数或半有理数复数
$\text{C.}$ 只能是半有理数复数
$\text{D.}$ 以上选项均不对
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $x, y, z$ 均为正整数, 且 $\frac{x(y+1)}{x-1}, \frac{y(z+1)}{y-1}, \frac{z(x+1)}{z-1}$ 均为正整数, 则 $x y z$ 的最大值和最小值之和为
由 $\left[\frac{1^2}{2023}\right],\left[\frac{2^2}{2023}\right], \cdots,\left[\frac{2023^2}{2023}\right]$ 构成的集合共有个 ________ 元素
十边形内任意三条对角线都不会在其内部相交于同一个点, 问这个十边形所有的对角线可以把这个十边形划分为个区域
高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家, 为了纪念他, 人们把函数 $y=[x](x \in \mathbf{R})$ 称为高斯函数, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.设 $S=\sum_{k=1}^{2024}\left[\frac{2024^k+2024 k}{(-1)^k \cdot 2023}\right]$, 则 $S$ 除以 2023 的余数是
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
同余定理是数论中的重要内容. 同余的定义为: 设 $a, b \in \mathbf{Z}, m \in \mathbf{N}^*$ 且 $m>1$.若 $m \mid a-b$ 则称 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余, 记作 $a \equiv b(\bmod m)$ (“|”为整除符号).
(1) 解同余方程 $x^2-x \equiv 0(\bmod 3)$;
(2) 设 (1) 中方程的所有正根构成数列 $\left\{a_n\right\}$, 其中 $a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n$.
(1)若 $b_n=a_{n+1}-a_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 求 $S_{2024}$;
(2) 若 $c_n=\tan a_{2 n+1} \cdot \tan a_{2 n-1}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.