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5.13

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I_{1} = \iint_{D} \sin | \frac{x - y}{2} | d x d y, I_{2} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{2} d x d y, I_{3} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{3} d x d y

, 其中

D =

{(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩽ 2}

, 则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

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2. 函数

f (x, y)

连续，交换二重积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x

次序，该二重积分可表示为?

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{3}}^{x} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{4}}^{x} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{5}}^{x} f (x, y) d y

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 已知

f (x, y) = x y + x^{2} y \iint_{D} x y f (x, y) d x d y

, 其中

D : y = x, y = 0, x = 1

所围成区域, 则

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 计算

\iint_{D} y (1 + x e^{\frac{x^{2} + y^{3}}{2}}) d x d y

, 其中平面区域

D

由直线

y = x, y = - 1

及

x = 1

所围成.

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5. 计算

\iint_{D} | y - x^{2} | max {x, y} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1} .

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6. 设

Ω \subset R^{3}

是有界闭区域,

I (Ω) = ∭_{Ω} (x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} - 1) d x d y d z

取得最小值的积分域记为

Ω_{1}

.
(I) 求

I (Ω_{1})

的值;
(II) 计算

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是

Ω_{1} (z ⩾ 0)

的上侧边界.

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7. 设可导函数

f (x)

满足

f (1) = 1

，且对

x \geq 1

时，有

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2} (x)}

。
( I ) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限；
(II) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x) \leq 1 + \frac{π}{4}

。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判

A +

)
设

f \in C [0, 1] ， g

为非负的周期函数，周期为 1 ，且

g \in R [0, 1]

，求证:

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f (x) g (n x) d x = (\int_{0}^{1} f (x) d x) (\int_{0}^{1} g (x) d x) 。

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