单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $P$ 为正交矩阵, 向量 $\alpha, \beta$ 的内积为 $(\alpha, \beta)=2$, 则 $(P \alpha, P \beta)=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times}, \boldsymbol{C}_{n \times}$, 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$, 其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 则二次型的正惯性指数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的两组基, 则 $\boldsymbol{\beta}_1$, $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & -4 & -6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 10 & 8 & 11\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & -10 \\ -4 & 0 & 8 \\ -6 & 1 & 11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{15}{4} & \frac{7}{4} & \frac{9}{4} \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{15}{4} & -2 \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{9}{4} & -1\end{array}\right)$.