解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_n=\left(1-\frac{2 \ln (\ln n)}{n}\right)^n$, 判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n$ 的敛散性.
(I) 求 $y=x \sin x$ 在 $[0, n \pi]$ ( $n$ 为正整数)上与 $x$ 轴所围的面积 $A_n$;
(II) 在(I)的基础上, 求幕级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_n}{2^n} x^n$ 的收敛域及和函数.
设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},(n=1,2,3, \cdots) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \ln n$.
按照 $p$ 的范围来说明级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^p}-\ln \left(1+\frac{1}{n^p}\right)\right],(p>0)
$$
的收敛性.
讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1(-1)^n(1-x) \cdot x^n \mathrm{~d} x$ 的收敛性并计算其和.
设函数 $f_n(x)=\frac{1}{n+1} x-\arctan x$, 其中 $n$ 为正整数. 证明:
(I) 方程 $f_n(x)=0$ 存在唯一正实根 $x_n$;
(II) 当 $p>2$ 时,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_n^p}$ 收敛.