解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $I=\int_L\left(e^x \sin y-b(x+y)\right) \mathrm{d} x+\left(e^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正的常数， $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心， $R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geq 0)$ ，若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线
已知抛物线 $y=p x^2+q x$ (其中 $p < 0, q>0$ ) 在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S$.
(1) 问 $p$ 和 $q$ 为何值时， $S$ 达到最大?
(2) 求出此最大值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ，记
$$
I=\int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，求 $I$ 的值.