填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow 2}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$