单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\dfrac{ e ^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left( e ^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在, 但不连续.
$\text{C.}$ 连续, 但不可导.
$\text{D.}$ 可导。
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求曲线 $y-x+e^y=0$ 在点 $x=1$ 处的切线方程
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
I ) 设 $x>0$, 证明: 函数 $f(x)=\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}$ 单调递增;
(II) 设 $0 < x < 1$, 证明不等式: $x-\frac{1}{2} x^2 < \ln (1+x) < x+(\ln 2-1) x^2$.