单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
将一个股子重复掷 $n$ 次, 各次掷出的点数依次为 $X_1, \cdots, X_n$. 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于 .
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{2}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布, 若 $P(X>1)=p$, 则 $P(\max (X, Y)>1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $p$
$\text{B.}$ $1-(1-p)^2$
$\text{C.}$ $(1-p)^2$
$\text{D.}$ $p^2$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取容量 $n$ 的一个样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方差为 $S^2$, 下面错误的是（）。
$\text{A.}$ $E\left(\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}\right)=n-1$
$\text{B.}$ $D\left(S^2\right)=\frac{2 \sigma^4}{n}$
$\text{C.}$ $D\left(\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right)^2\right)=2$
$\text{D.}$ $E\left(n S^2\right)=n \sigma^2$
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$