单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \dfrac{n t^{n-1}}{1+\mathrm{e}^{x t}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^2$.
$\text{B.}$ $1+e$
$\text{C.}$ $\ln (1+e)$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设 $I_1=\int_0^\pi \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x, I_3=\int_\pi^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^2} \cos x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
已知 $\int_0^1\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=1, f(1)=0$, 则 $f(0)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周 期函数.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.