单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为随机事件， $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 若 $P(A \mid B)=1$ ，则下面正确的是
$\text{A.}$ $P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$
$\text{B.}$ $P(A \mid \bar{B})=0$
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $P(B \mid A)=1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且
$$
X \sim N(1,2), Y \sim N(1,4),
$$
则 $D(X Y)=(\quad)$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 15
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
(2) 问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立? 并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x^2}{\theta^3}, 0 < x < \theta, \\ 0, \text { 其他, }\end{array}\right.$其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为未知参数， $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left(X_1, X_2, X_3\right)$.
（1）求 $T$ 的概率密度；
（2）确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计。