单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是（）
$\text{A.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$.
$\text{C.}$ $P(A \bar{B})=P(B \bar{A})$.
$\text{D.}$ $P(A B)=P(\bar{A} \bar{B})$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P\{|X-Y| < 1\}(\quad)$
$\text{A.}$ 与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma^2$ 有关.
$\text{B.}$ 与 $\mu$ 有关，而与 $\sigma^2$ 无关.
$\text{C.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都有关.
$\text{D.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都无关.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}, 0 < x < 2,\\ 0, \text { 其他, }\end{array}\right.$ $ F(x)$ 为$X$ 的分布函数, $E(X)$为$X$的数学期望, 则 $P\{F(X)>E(X)-1\}=$ $\qquad$ .
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为 1 的指数分布， $Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0 < p < 1) .
$$
令 $Z=X Y$ ，
(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $X$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f\left(x, \sigma^2\right)= \begin{cases}\frac{A}{\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} & , x \geq \mu, \\ 0, & x < \mu\end{cases}
$$
其中 $\mu$ 是已知参数， $\sigma>0$ 是未知参数， $A$ 是常数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ ；
(2) 求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.