单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$$
\begin{gathered}
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0 \\
P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}
\end{gathered}
$$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0 ; 1,4 ;-\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $\boldsymbol{X}$ 独立的是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布律为
$$
P(X=k)=\frac{1}{2^k}, k=1,2, \ldots
$$
$Y$ 为 $X$ 被 3 除的余数，则 $E Y=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < y < \sqrt{1-x^2}\right\}$ 上服从均匀分布，
$$
Z_1=\left\{\begin{array}{l}
1, X-Y>0 \\
0, X-Y \leq 0
\end{array}, Z_2=\left\{\begin{array}{l}
1, X+Y>0 \\
0, X+Y \leq 0
\end{array}\right.\right.
$$
(I) 求二维随机变量 $\left(Z_1, Z_2\right)$ 的概率分布;
(II) 求 $Z_1, Z_2$ 的相关系数.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{c}
1-e^{-(t / \theta)^m}, t \geq 0 \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且均大于零.
（I）求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ；
（II）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$