某数学活动小组在一次活动中, 对一个数学问题做了如下研究:

【问题发现】
(1) 如图①, 在等边三角形 $A B C$ 中, 点 $M$ 是 $B C$ 边上任意一点, 连接 $A M$, 以 $A M$ 为边作等边三角形 $A M N$, 连接 $C N$, 则 $\angle A B C$ 和 $\angle A$ $C N$ 的数量关系为多少?
【变式探究】
(2) 如图②, 在等腰三角形 $A B C$ 中, $A B=B C$, 点 $M$ 是 $B C$ 边上任意一点 (不含端点 $B, C$ ), 连接 $A M$, 以 $A M$ 为边作等腰三角形 $A M$ $N$, 使 $\angle A M N=\angle A B C, A M=M N$, 连接 $C N$, 试探究 $\angle A B C$ 与 $\angle A C N$ 的数量关系, 并说明理由；
【解决问题】
(3) 如图③, 在正方形 $A D B C$ 中, 点 $M$ 为 $B C$ 边上一点, 以 $A M$ 为边作正方形 $A M E F$, 点 $N$ 为正方形 $A M E F$ 的中心, 连接 $C N, A B, A$ $E$, 若正方形 $A D B C$ 的边长为 $8, C N=\sqrt{2}$, 求正方形 $A M E F$ 的边长.