如图 $1, A B$ 是半圆 $O$ 的直径, 点 $C, D$ 是半圆 $O$ 上的点, 且 $A C \| O D$, 连结 $B C$ 交 $O D$ 于点 $E$.
(1) 求证: $O D \perp B C$.
(2) 如图 2 , 连结 $C D, A D, B D$, 若 $\sin \angle A B C=\frac{1}{3}$, 求 $\triangle A C D$ 与 $\triangle O B D$ 的面积之比.
(3) 如图3, 连结 $B D$, 作 $C P \| B D$ 交 $A B$ 于点 $P$, 连结 $P D$. 求证: $B D^2=B O \cdot B P$.