已知直线 $l: x=2$ 经过椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 且被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程:
(2) 若过点 $P(4,0)$ 的动直线 $m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 且直线 $l$ 上的点 $M$ 满足 $\overrightarrow{A M} / / \overrightarrow{F P}$, 求证:直线 $M B$ 过定点, 并求该定点的坐标.