二进制是在数学和数字电路中以 2 为基数的记数系统, 在这一系统中, 通常用两个不同的符号 0,1 来表示数. 如果十进制中的整数 $n=a_k \cdot 2^k+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+\cdots+a_1 \cdot 2+a_0\left(a_i \in\{0,1\}, i=0,1, \cdots, k\right)$,则这个数在二进制下记为 $a_k a_{k-1} \cdots a_1 a_0$, 即 $(n)_{10}=\left(a_k a_{k-1} \cdots a_1 a_0\right)_2$. 记十进制下的整数 $n$ 在二进制表示下的各位数字之和为 $\varphi(n)$, 即 $\varphi(n)=a_0+a_1+\cdots+a_k$.
(1) 计算 $\varphi(7)$;
(2) 证明: $\varphi(4 n+3)=\varphi(2 n+1)+1$ ；
(3) 求数列 $\left\{\varphi\left(3 \cdot 2^n-1\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.