如图, 已知 $\angle P A Q$ 及 $A P$ 边上一点 $C$.
(1) 用无刻度直尺和圆规在射线 $A Q$ 上求作点 $O$, 使得 $\angle C O Q=2 \angle C A Q$; (保留作图痕迹, 不写作法)
(2) 在 (1) 的条件下, 以点 $O$ 为圆心, 以 $O A$ 为半径的圆交射线 $A Q$ 于点 $B$, 用无刻度直尺和圆规在射线 $C P$

上求作点 $M$, 使点 $M$ 到点 $C$ 的距离与点 $M$ 到射线 $A Q$ 的距离相等; (保留作图痕迹, 不写作法)
(3) 在 (1)、(2) 的条件下, 若 $\sin A=\frac{3}{5}, C M=12$, 求 $B M$ 的长.