设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, $h \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$, 记 $f_h(x)=\frac{1}{h^2} \int_0^h \mathrm{~d} u_2 \int_0^h f\left(x+u_1+u_2\right) \mathrm{d} u_1$. (1) 证明: $f_h(x)$在 $[0,1]$ 上二阶可导, 并求 $f_h^{\prime \prime}(x)$. (2) 若 $f(x)$ 在 $x_0 \in[0,1]$ 处存在二阶导数, 证明:

$$
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} f_h^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \cdot(15 \text { 分 })
$$