判断题 （共 4 题 ）
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 以 0 为极限, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n b_n\right)$ 收敛.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $f: R \rightarrow R$ 是连续映射, $f_n=f \circ f \circ \cdots \circ f$ 为 $f$ 的 $n$ 次复合, 若存在 $x_0 \in R$ 使得数列 $\left\{f_n\left(x_0\right)\right\}$ 收敛到 $a$, 则 $a$ 是 $f$ 的不动点, 即 $f(a)=a$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $f(x), f_n(x)(n=1,2, \cdots)$ 均在 $[0,1]$ 上连续, 且 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $f(x)$, 则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $D$ 是凸区域, 若在 $D$ 内满足 $f_x(x, y)=0$, 则 $f(x, y)$ 在 $D$ 内的取值与 $x$ 无关
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+a^n+\left(\frac{a^2}{2}\right)^n}(a>0)$
求不定积分 $\int e^{-\sin x} \frac{\sin 2 x}{\sin ^4\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)+\ln \left(1-x^2\right)}{x^4}$
求重积分 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} d x d y$, 其中 $D$ 是 $x+y=1, x=0, y=0$ 所围成的区域.
求曲线积分 $\oint_L \frac{x d y-y d x}{4 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 是圆周 $(x-1)^2+y^2=R^2$, 取逆时针方向.
设 $\Sigma$ 是 $z=2-x^2-y^2$ 介于 $z=1$ 和 $z=2$ 之间的部分, 取上侧, 求曲面积分
讨论 $a, b, c$ 取何值时, $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{a^n}{n^b(\ln n)^c}$ 绝对收敛, 条件收敛, 发散.
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内有一阶连续偏导数, 且 $f(1,0)=0, f_y(1,0) \neq 0$, 证明: 方程 $f\left(x, \int_0^t \cos u \mathrm{~d} u\right)=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内可确定隐函数 $t=\varphi(x)$, 并求 $\varphi^{\prime}(1)$.
设 $f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+\ln z$, 求 $f(x, y, z)$ 在 $x^2+y^2+z^2=4 r^2(x, y, z>0)$ 下的极大值, 其中 $r$ 为正常数, 并证明对任意的正整数 $a, b, c$, 满足 $a b^2 c \leq 4\left(\frac{a+b+c}{4}\right)^4$.
设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n+x}$. 证明: (1) $f(x)$ 在 $[0,+\infty]$ 上可导且一致连续. (2) 反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, $h \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$, 记 $f_h(x)=\frac{1}{h^2} \int_0^h \mathrm{~d} u_2 \int_0^h f\left(x+u_1+u_2\right) \mathrm{d} u_1$. (1) 证明: $f_h(x)$在 $[0,1]$ 上二阶可导, 并求 $f_h^{\prime \prime}(x)$. (2) 若 $f(x)$ 在 $x_0 \in[0,1]$ 处存在二阶导数, 证明:
$$
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} f_h^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \cdot(15 \text { 分 })
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积. (1)证明:对任意的 $\varepsilon>0$, 存在区间 $[c, d] \subset[a, b]$, 使得 $f(x)$ 在 $[c, d]$ 振幅 $\omega_f < \varepsilon .(2)$ 证明: $f(x)$ 的连续点在 $[a, b]$ 上稠密, 即对任意的 $[\alpha, \beta] \subset[a, b], f(x)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 内部有连续点.
(3) 若 $f(x) \geq 0$, 证明: $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$ 当且仅当 $f(x)$ 在其连续点恒为 0.