设函数 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2}$ 满足等式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D e^{s^2+t^2} d s d t+\pi$, 其中区域 $D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant r^2\right\}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式.