解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $\varphi(x)=\int_0^{\sin x} f\left(t x^2\right) d t$, 其中 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(0)=2$.
(1) 求 $\varphi^{\prime}(x)$;
(2) 判断 $\varphi^{\prime}(x)$ 的连续性.
设曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geqslant 0)$ 的拐点的横坐标为 $x=a$.
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 若 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x < a, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}\right\}$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积.
设函数 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2}$ 满足等式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D e^{s^2+t^2} d s d t+\pi$, 其中区域 $D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant r^2\right\}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是导数连续的函数, $f(0)=0,\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$, 试证明：
$$
|f(x)| \leqslant e^x-1, x \in[0,+\infty)
$$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1,0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { else }\end{array}\right.$, 且 $D$ 由 $x=0, y=0, x+y \leq t$ 围成, $[1+x+y]$表示不超过 $1+x+y$ 的最大整数, 若 $g(t)=\iint_D f(x, y)[1+x+y] d x d y$, 求 $g(t)$.
矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 6\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]$, 已知存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P ^T A P = B$, 其中
$a$ 为未知参数, 则
(I) 求参数 $a$;
(II) 求可逆矩阵 $P$, 使得 $P ^T A P = B$.
已知曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(0 \leq t \leq \pi)(a>0)\right.$ 与 $y=0$ 所围成区域为 $D$, 且该区域绕 $x$轴旋转一周的体积与该区域的面积相等，则
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的侧表面积.
证明: $\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right) \leqslant e^{x+y-2}$ 对任意 $x \geq 0, y \geq 0$ 成立.
已知 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$, 则
(I) 求 $k=\iint_D|x y-1| d x d y$ ；
(II) 根据（I）中所求 $k$, 设 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续, 且 $\iint_D f(x, y) d x d y=0$, $\iint_D x y f(x, y) d x d y=1$. 试证明存在 $(\xi, \eta) \in D$ 使得 $|f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{1}{k}$.
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 的三个特征向量为 $\alpha _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha _2=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha _3=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right]$,
(I) 求出 $A$ 分别对应 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的特征值;
(II) 求 $A x =0$ 方程组的通解；
(III) 求 $A ^{2023}$.