设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的具有二阶连续导数的函数, 满足 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$. 记 $u$ $=f\left(\sqrt[3]{x^2+y^2}\right)$. 当 $\sqrt[3]{x^2+y^2}>0$ 时, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$.
( I ) 记 $p=f^{\prime}(x)$, 求 $f^{\prime}(x)$ 满足的微分方程;
(II) 求 $f(x)$ 的表达式.