单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha_1=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_2=2^{x^4+x}-1, \alpha_3=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( )
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$.
曲线 $y=\sqrt{2 x^2+4 x+1}$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4.
设 $I_1=\int_{-1}^1 e ^{-\frac{x^2}{2}} d x, I_2=\sqrt{2 \pi\left(1- e ^{-1}\right)}, I_3=4\left(1- e ^{-\frac{1}{2}}\right)$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛, 则以下级数中, 收敛的是 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}$.
设 $A =\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶矩阵, 且其元素满足 $a_{i j}=-a_{i j}, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量, 矩阵 $B =\left(\begin{array}{cc} A & \beta \\ \beta ^{ T } & 0\end{array}\right)$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n$.
$\text{B.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n+1$.
$\text{C.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数,且 $r( B )=n$.
$\text{D.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数, 且 $r( B )=n+1$.
设向量组 $A: \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 包含 $n$ 个 $m$ 维向量 $(n>m)$ ，则
$\text{A.}$ 矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)$ 必可经过初等行变换化为矩阵 $( E , O )$ 或 $\left(\begin{array}{ll} E & O \\ O & O \end{array}\right)$ 的形式.
$\text{B.}$ 矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)$ 必可经过初等列变换化为矩阵 $( E , O )$ 或 $\left(\begin{array}{ll} E & O \\ O & O \end{array}\right)$ 的形式.
$\text{C.}$ 对任意的 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-1}$, 向量组 $B: \alpha _1+k_1 \alpha _2, \alpha _2+k_2 \alpha _3, \cdots, \alpha _{n-1}+k_{n-1} \alpha _n$ 必线性相关.
$\text{D.}$ 一定存在 $\alpha _i(1 \leqslant i \leqslant n)$, 使得 $\alpha _i$ 可由向量组 $A$ 中的其他向量线性表示.
若矩阵 $A , B$ 为正交矩阵，则下列命题中，正确命题的个数为（）
(1) $| A |= \pm 1$.
(2) 若 $A$ 存在实特征值, 则必为 $\pm 1$.
(3) $A B$ 也是正交矩阵.
(4) 若 $| A |=-| B |$, 则 $A + B$ 必不可逆.
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 < 1, \\ 0, & x^2+y^2 \geqslant 1,\end{cases}
$$
则随机变量 $X$ 与 $Y(\quad)$
$\text{A.}$ 不相关且不独立.
$\text{B.}$ 不相关且独立.
$\text{C.}$ 相关, 且相关系数为正.
$\text{D.}$ 相关, 且相关系数为负.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$. 记统计量 $Y_1=\sum_{i=1}^{2 n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2, Y_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-X_{n+i}\right)^2, Y_3=$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$, 则这 3 个统计量的数学期望 $E\left(Y_1\right), E\left(Y_2\right), E\left(Y_3\right)$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)>E\left(Y_3\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)>E\left(Y_2\right)$.
$\text{C.}$ $ E\left(Y_3\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(Y_2\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)$.
设总体 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布， $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自该总体的一组样本值， $\bar{x}$ 为其均值，则参数 $p$ 的矩估计值 $\hat{p}_1$ 和最大似然估计值 $\hat{p}_2$ 满足（）
$\text{A.}$ $\hat{p}_1=\frac{1}{\bar{x}} < \hat{p}_2$.
$\text{B.}$ $\hat{p}_1=\frac{1}{\bar{x}}>\hat{p}_2$.
$\text{C.}$ $\hat{p}_1=\hat{p}_2=\frac{1}{\bar{x}}$.
$\text{D.}$ $\hat{p}_1>\hat{p}_2>\frac{1}{\bar{x}}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=x^2 \cos 2 x$, 则 $f^{(10)}(0)=$
$\int \frac{(x \sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 x} d x=$
设某商品的需求函数为 $Q=1-P-P^2\left(0 < P < \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$, 其中 $Q, P$ 分别表示需求量和价格, 则当收益最大时, 需求弹性 $\varepsilon(\varepsilon>0)$ 为
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t d t}{x}=$
$ \left|\begin{array}{ccccc}2 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 2 & 1 \\ & & & 1 & 2\end{array}\right|_{n \times n}=$
箱子中装有 5 个相同的球, 编号分别为 $1,2,3,4,5$, 从中随机取出 3 个, $X$ 表示所取出球的最大编号, 则 $E(X)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(I) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$;
(II) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在, 而 $I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ 存在, 试确定$b$ 的值, 并求 $I$.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 3 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 8\right\}$.
(I) 求 $\iint_D \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}} d x d y$;
(II) 证明: 存在 $(\xi, \eta) \in D$, 使得 $\xi^2=\frac{16}{15} \sqrt{\xi^2+\eta^2+1}$.
设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的具有二阶连续导数的函数, 满足 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$. 记 $u$ $=f\left(\sqrt[3]{x^2+y^2}\right)$. 当 $\sqrt[3]{x^2+y^2}>0$ 时, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$.
( I ) 记 $p=f^{\prime}(x)$, 求 $f^{\prime}(x)$ 满足的微分方程;
(II) 求 $f(x)$ 的表达式.
记 $a_n=\int_0^1 x^2(\ln x)^n d x, n=0,1,2, \cdots$.
( I ) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^n}{a_n}$;
(II) 求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{a_n}$ 的收敛域,并计算其和函数.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right), P =\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right), B = P ^{-1} A ^* P$, 求 $B + E$ 的特征值与特征向量, 其中 $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, $E$ 为 3 阶单位矩阵.
假设某咖啡店在任何长为 $t$ (单位:小时) 的时间内卖出的咖啡杯数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布. 若一天内卖出 100 杯咖啡，则当天该店净利润大于 0.
(I) 求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔 $T_1$ 的概率密度;
（II）记一天中，从开始营业到开始盈利的时间为 $T_2$ ，求 $T_2$ 的概率密度；
(III) 已知 $\lambda=20$, 问长期来看, 若要盈利, 则该咖啡店需平均每天至少营业多少小时?
$$
\left(\int_0^{+\infty} t^n e^{-t} d t=n!\right)
$$