连续做某项试验, 每次试验只有成功和失败两种结果, 已知当第 $k$ 次成功时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{1}{2}$; 当第 $k$ 次失败时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{3}{4}$. 如果第一次试验成功和失败的概率均为 $\frac{1}{2}$, 设第 $n$ 次试验成功的概率为 $P_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=(\quad)$.
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{5}{8}$
C
$\frac{3}{4}$
D
$\frac{3}{5}$
E
F