单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导,则 $f(|x|)$ 在点 $x=0$ 处可导的充分必要条件是（ ）.
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(0)=0$ 或 $f^{\prime}(0)=0$
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$, 则这个数列收敛的充分必要条件是 ( ).
$\text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界
$\text{B.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调
$\text{C.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调有界
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=a$
若 $f\left(x, x^2\right)=x^2 e ^{-x},\left.f_x^{\prime}(x, y)\right|_{y=x^2}=-x^2 e ^{-x}$, 则当 $x \neq 0$ 时, $\left.f_y^{\prime}(x, y)\right|_{y=x^2}=$ ( ).
$\text{A.}$ $2 x e ^{-x}$
$\text{B.}$ $\left(-x^2+2 x\right) e ^{-x}$
$\text{C.}$ $e^{-x}$
$\text{D.}$ $(2 x-1) e ^{-x}$
已知 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=a, f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=b$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续
$\text{B.}$ $\left. d f(x, y)\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=a d x+b d y$
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=a \cos \alpha+b \cos \beta$, 其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 是向量 $l$ 的方向余弦
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $x$ 轴负方向的方向导数为 $-a$
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $f(0,0) \neq 0$, 则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{|x|+|y| \leq \sqrt{t}} f(x, y) d \sigma}{\int_0^t f(x, x) d x}=$ ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $f(0,0)$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 都是 $n$ 维向量，则（ ）不正确。
$\text{A.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, $\alpha _4$ 不能用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2$ 线性无关, $\alpha _3, \alpha _4$ 都不能用 $\alpha _1, \alpha _2$ 线性表示, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{C.}$ 若存在 $n$ 阶矩阵 $A$, 使得 $A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3, A \alpha _4$ 线性无关, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{D.}$ 若 $\alpha _1= A \beta _1, \alpha _2= A \beta _2, \alpha _3= A \beta _3, \alpha _4= A \beta _4$, 其中 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆, 已知 $\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4$ 线性无关 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
设 $A , B$ 为 $n$ 阶方阵, 若方程组 $A x = 0$ 的解都是 $B x = 0$ 的解, 则下列方程组中有 ( $\quad$ ) 个与 $A x =0$ 同解.
(1) $( A + B ) x = 0$
(2) $A B x = 0$
(3) $B A x=0$
(4) $\binom{ A - B }{ A + B } x = 0$
(5) $\binom{ A }{ B } x= 0$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设随机变量 $ X_1$ 与$ X_2$ 相互独立, 其分布函数分别为
$$
\begin{aligned}
&F_1(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \quad F_2(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} d t, \quad-\infty < x < +\infty, \\ 1, & x \geqslant 1,\end{cases}\\
\end{aligned}
$$
则 $X_1+X_2$ 的分布函数 $F(x)=(\quad)$.
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} F_1(x)+\frac{1}{2} F_2(x)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F_1(x)+\frac{1}{2} F_2(x-1)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F_2(x)+\frac{1}{2} F_2(x-1)$
连续做某项试验, 每次试验只有成功和失败两种结果, 已知当第 $k$ 次成功时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{1}{2}$; 当第 $k$ 次失败时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{3}{4}$. 如果第一次试验成功和失败的概率均为 $\frac{1}{2}$, 设第 $n$ 次试验成功的概率为 $P_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由曲线 $y=\frac{3}{x} \quad(x>0)$ 与直线 $x+y=4$ 所围平面图形 $D$ 的形心坐标为
已知可微函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内满足 $\int_1^x \frac{f(t)}{f^2(t)+t} d t=f(x)-1$, 则 $f(x)=$
曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆方程为
函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 展开成 $x-3$ 的幂级数为
设 $A$ 是三阶实对称矩阵, 若存在正交阵 $Q=\left( q _1, q _2, q _3\right)$, 使得
$$
Q ^{-1} A Q =\left(\begin{array}{lll}
2 & & \\
& 3 & \\
& & 4
\end{array}\right),
$$
则 $A - q _1 q _1^{ T }$ 的特征值是
设随机变量 $X \sim P (\lambda), Y \sim E (\lambda)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立. 若已知 $E X= E Y$, 则 $E \left(X^2 2^Y\right)$ $=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方程 $2 x^3-6 x y+3 y^2+\frac{1}{e} z \ln z=0$ 确定了 $z=z(x, y)$, 求 $z(x, y)$ 的极值.
讨论方程 $\left(x^2-3\right)-k e ^{-x}=0$ 根的情况, 其中 $k$ 为实数.
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 在 $(0, \pi)$ 内可导, 若存在 $x_1, x_2 \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 使 $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) x \sin x d x=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$, 证明: 在 $(0, \pi)$ 内存在 $\xi$, 使 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设函数 $f(u)$ 具有一阶连续导数, $L$ 是以 $A(1,1)$ 和 $B(3,3)$ 为直径的左上半圆,且从 $A$ 走向 $B$, 计算
$$
I=\int_L\left[\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y}\right)-y\right] d x-\left[\frac{1}{y} f\left(\frac{x}{y}\right)+2 x\right] d y .
$$
已知 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$,
（I）解齐次线性方程组 $\left( A ^{ T } A \right) x = 0$ ；
（II）讨论二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T }\left( A ^{ T } A \right) x$ 的正定性。
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_\mu}{\theta}}, & x \geqslant \mu, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>0, \theta, \mu$ 为参数， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本。
(I) 如果参数 $\mu$ 已知，求未知参数 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(II) 如果参数 $\theta$ 已知, 求末知参数 $\mu$ 的极大似然估计量 $\hat{\mu}$.