已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长轴长是 $4, D$ 为右顶点, $P, Q, M, N$ 是椭圆 $E$ 上异于顶点的任意四个点, 当直线 $P Q$ 经过原点 $O$ 时, 直线 $P D$ 和 $Q D$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{4}$.
(1) 求椭圆 $E$ 的方程;
(2) 当直线 $M D$ 和 $N D$ 的斜率之积为定值 -2 时, 直线 $M N$ 是否过一个定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.