如图, 在四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A A_1 \perp$ 平面 $A B C D, A B_1 / /$ 平面 $C D D_1 C_1, A D / /$ $B C, A B=A D=C D=2 A A_1=2 A_1 B_1=2$.
(1) 求证: $A D=B_1 C_1$;
(2) 求平面 $C D D_1 C_1$ 与平面 $B A A_1 B_1$ 所成角的正弦值;
(3) 求点 $A$ 关于平面 $A_1 B C$ 的对称点 $M$ 到平面 $C D D_1 C_1$ 的距离.