设 $4 \times 5$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{l} \alpha _1^{ T } \\ \alpha _2^{ T } \\ \alpha _3^{ T } \\ \alpha _4^{ T }\end{array}\right)$, 且 $\eta _1=(1,1,-2,1)^{ T }, \quad \eta _2=(0,1,0,1)^{ T }$是齐次线性方程组 $A ^{ T } x =0$ 的基础解系，现有 4 个命题
(1) $\alpha _1, \alpha _3$ 线性无关;
(2) $\alpha _1$ 可由 $\alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
(3)向量组 $\alpha _3, \alpha _4$ 为向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的一个极大无关组
(4) 向量组 $\alpha _1, a _1+ \alpha _2, \alpha _3+2 \alpha _4$ 秩为 3 。

以上命题中正确的是 ( ).