单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{ t ^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 ( ).
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 ( ).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值, 但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值, 但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为收敛的正项级数, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-b_{n+1}\right)$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n($ ).
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不定
设 $4 \times 5$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{l} \alpha _1^{ T } \\ \alpha _2^{ T } \\ \alpha _3^{ T } \\ \alpha _4^{ T }\end{array}\right)$, 且 $\eta _1=(1,1,-2,1)^{ T }, \quad \eta _2=(0,1,0,1)^{ T }$是齐次线性方程组 $A ^{ T } x =0$ 的基础解系，现有 4 个命题
(1) $\alpha _1, \alpha _3$ 线性无关;
(2) $\alpha _1$ 可由 $\alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
(3)向量组 $\alpha _3, \alpha _4$ 为向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的一个极大无关组
(4) 向量组 $\alpha _1, a _1+ \alpha _2, \alpha _3+2 \alpha _4$ 秩为 3 。
以上命题中正确的是 ( ).
$\text{A.}$ (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)
$\text{C.}$ (2)(3)
$\text{D.}$ (1)(4)
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 -2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B \quad(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 等价但不一定相似
$\text{D.}$ 合同但不相似
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $\alpha$, 若向量组 $\alpha, A \alpha, A ^2 \alpha$ 线性无关, 且 $A^3 \alpha=3 A \alpha-2 A^2 \alpha$, 则秩 $r (A)=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A, B$ 为两随机事件, 若 $P(\bar{A})=0.4, P(B \mid A)=0.5, P(A \mid B)=0.6$, 则 ( )
$\text{A.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.1$
$\text{B.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.3$
$\text{C.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.5$
$\text{D.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.3$
设随机变量 $X \sim E(\lambda)$, 且 $X$ 的数学期望 $E(X)=\frac{1}{2}, Y$ 表示对 $X$ 的三次独立观察中事件 " $X>1$ " 出现的次数, 则概率 $P\{Y \geq 1\}=$ ( ).
$\text{A.}$ $1-\left(1-e^{-2}\right)^3$
$\text{B.}$ $1-\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)^3$
$\text{C.}$ $1-3 e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)^2$
$\text{D.}$ $3 e^{-4}\left(1-e^{-2}\right)$
设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=2$ 的普松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是 $X$ 的一组容量为 $n$ 的样本,若要求样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 大于 $\mu+\frac{\sigma}{4}$ 的概率不大于 0.05 (其中 $\mu= E X, \sigma^2= D X$ ),根据中心极限定理，则 $n$ 至少大于（）。
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ 43
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{\sin x}- e ^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\int_1^t \frac{u \sin u^2}{1+u^2} d u\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调可导, $f(0)=-1, f^{-1}$ 为 $f$ 的反函数, 若 $\int_{x^2}^{x^2+f(x)} f^{-1}\left(t-x^2\right) d t=x^2 \sin x$, 则 $f(x)=$
二次积分 $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{-y}^{\sqrt{1-y^2}} e^{-\left(x^2+y^2\right)} d x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} e^{-\left(x^2+y^2\right)} d x=$
设 $A$ 是三阶可逆矩阵。如果 $A^{-1}$ 的特征值为1,2,3，则 $A$ 的代数余子式之和 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为 $X$ 的简单随机样本, 则统计量
$$
Y=\frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^4(-1)^{i-1} X_i}{\sqrt{\sum_{i=5}^{10} X_i^2}} \text { 服从分布为 }
$$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \sqrt{1+x}-c}{(1-\cos x) \arctan x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设 $D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 4\}$, 求 函 数 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right) e ^{-x-y}$ 在区域 $D$ 上的最大值与最小值.
计算二重积分 $I=\iint_D e ^{\frac{|x|}{|x|+|i|}} d \sigma, D$ 由 $|x|+|y| \leq 1$ 所围平面区域.
(I) 设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$, 用可逆线性变换将 $f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性变换. 并说明二次型的对应矩阵 $A$ 是正定矩阵. (II) 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $D$, 使 $A = D ^{ T } D$.
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < 0 \\ x^{\theta+1}, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1\end{array}(\theta>-1)\right.$, 且总体 $Y=X^2, \quad Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 为 $Y$ 一组简单随机样本. (I) 求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$; (II) 求参数 $\theta$ 的矩估计; (III) 求参数 $\theta$ 的最大似然估计.