设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 若满足条件: 存在 $[m, n] \subseteq D$, 使 $f(x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[k m, k n](k \in R$ 且 $k>0)$ ，则称 $f(x)$ 为" $k$ 倍函数"，若函数 $f(x)=a^x(a>1)$ 为" 3 倍函数"，则实数 $a$ 的取值范围是（）
A
$\left(1, e^{\frac{3}{e}}\right)$
B
$\left(1, e^3\right)$
C
$\left(e^{\frac{2}{e}}, e\right)$
D
$\left(e, e^3\right)$
E
F