已知 $x_1, x_2$ ，是函数 $f(x)=\tan (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi < \varphi < \pi)$ 的两个零点，且 $\left|x_1-x_2\right|$ 的最小值为 $\frac{\pi}{3}$ ，若将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 $\varphi$ 的可能值为（）
A
$\frac{3 \pi}{4}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$-\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{8}$
E
F