桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的＂抽屉原理＂。

抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 $n+1$ 个元素放到 $n$ 个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。

应用抽屉原理，解答下列问题：设 $n$ 为正整数，集合 $A=\left\{\alpha \mid \alpha=\left(t_1, t_2, \cdots, t_n\right), t_k \in\{0,1\}, k=1\right.$ ， $2, \cdots, n\}$ ．对于集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $\beta=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ ，记 $M(\alpha, \beta)=$ $\frac{1}{2}\left[\left(x_1+y_1+\left|x_1-y_1\right|\right)+\left(x_2+y_2+\left|x_2-y_2\right|\right)+\cdots+\left(x_n+y_n+\left|x_n-y_n\right|\right)\right]$ ．
（I）当 $n=3$ 时，若 $\alpha=(0,1,1), \beta=(0,0,1)$ ，求 $M(\alpha, \alpha)$ 和 $M(\alpha, \beta)$ 的值；
（II）当 $n=4$ 时，对于 $A$ 中的任意两个不同的元素 $\alpha, \beta$ ，证明：$M(\alpha, \beta) \leq M(\alpha, \alpha)+M(\beta, \beta)$ ．
（III）给定不小于 2 的正整数 $n$ ，设 $B$ 是 $A$ 的子集，且满足：对于 $B$ 中的任意两个不同元素 $\alpha, \beta, M(\alpha, \beta)=M(\alpha, \alpha)+M(\beta, \beta)$ ．写出一个集合 $B$ ，使其元索个数最多，并说明由．