在平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=A C=C D=1, \angle A D C=30^{\circ}, \angle D A B=120^{\circ}$ ，将 $\triangle A C D$ 沿 $A C$ 翻折至 $\triangle A C P$ ，其中 $P$ 为动点．
（1）设 $P C \perp A B$ ，三棱锥 $P-A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上．
（i）证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ；
（ii）求球 $O$ 的半径
（2）求二面角 $A-C P-B$ 的余弦值的最小值．