已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_1$ 交 $C$ 于另一点 $B, \triangle A B F_2$ 的内切圆分别与 $B F_2, A F_1, A F_2$ 相切于点 $P, M, N$ ．若 $|B P|=\left|F_1 F_2\right|$ ，则 $C$ 的离心率为
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{3}{4}$
E
F