已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，在 $x=0$ 的某去心邻域内可导，且极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，下列说法正确的为（ ）。
A
若极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+f(x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
B
若 $\int_0^x f(t) d t$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
C
若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 不一定等于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$
D
若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x^{\frac{1}{3}}}=0$
E
F