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试题 ID 24135
【所属试卷】
导数压轴题不等式证明习题精选
设函数 $f(x)=x^2+b \ln (x+a)$ ，其中 $b \neq 0$ ．
（1）当 $b=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=-2$ 时取得极值，求 $a$ ；
（2）当 $a=1$ 时，若 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；
（3）证明对任意的正整数 $n$ ，不等式 $\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)>\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$ 都成立．
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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设函数 $f(x)=x^2+b \ln (x+a)$ ，其中 $b \neq 0$ ．<br>（1）当 $b=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=-2$ 时取得极值，求 $a$ ；<br>（2）当 $a=1$ 时，若 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；<br>（3）证明对任意的正整数 $n$ ，不等式 $\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)>\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$ 都成立． <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>