解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1 < \frac{x-1}{\ln x}$ ．
已知函数 $f(x)=x^2-2 \ln x$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）求证：当 $x>2$ 时，$f(x)>3 x-4$ ．
已知函数 $f(x)= e ^x+a x+b$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=a-b$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）证明：$f(x) \geq 0$ ．
已知函数 $f(x)=a x^3-3 \ln x$ ．
（1）若 $a=1$ ，证明：$f(x) \geq 1$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性．
已知函数 $f(x)=x-\sin x, x \in(0,+\infty)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$ 处的切线方程；
（2）证明： $2 e ^x \cdot f(x)+\cos x \cdot e ^x>1$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)-\ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小值；
（2）证明： $\ln \frac{4}{3}>\frac{7}{32}$ ．
已知函数 $f(x)=a e ^x+b x+1$ 在 $x=0$ 处有极值 2 ．
（I）求 $a, b$ 的值；
（II）证明：$f(x)>e x-x$ ．
设函数 $f(x)=\left(x^2-2 x\right) e^x+a e x-e^2 \ln x$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，曲线 $y=f(x)$ 在 $(2, f(2))$ 处切线的倾斜角的正切值为 $\frac{3}{2} e^2+2 e$ ．
（1）求 $a$ 的值；
（2）证明：$f(x)>0$ ．
已知函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）讨论 $y=f(x)$ 的单调性并求极值；
（2）证明：当 $x>1$ 时， $\ln ^2(x+1)>\ln x \cdot \ln (x+2)$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{ e ^x-a}{x}, a \in R$ ．
（1）若 $f(x)$ 在定义域内无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证：当 $0 < a < 1, x>0$ 时，$f(x)>1$ 恒成立．
已知函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(x>0)$ ．
（1）证明：$f(x) < e$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明：当 $n \in N ^*$ 时，$(2 n+1) \ln (n+1) < n \ln n+(n+1) \ln (n+2)$ ．
设函数 $f(x)=x^2+b \ln (x+a)$ ，其中 $b \neq 0$ ．
（1）当 $b=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=-2$ 时取得极值，求 $a$ ；
（2）当 $a=1$ 时，若 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；
（3）证明对任意的正整数 $n$ ，不等式 $\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)>\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$ 都成立．
（1）已知函数 $f(x)=x \ln x$ ，判断函数 $g(x)=f(1+x)+f(1-x)$ 的单调性并证明；
（2）设 $n$ 为大于 1 的整数，证明：$(n+1)^{1+\frac{1}{n}}(n-1)^{1-\frac{1}{n}}>n^2$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{1-x}{a x}+\ln x$ ；
（1）若函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为增函数，求正实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的最值；
（3）当 $a=1$ 时，对大于 1 的任意正整数 $n$ ，试比较 $\ln \frac{n}{n-1}$ 与 $\frac{1}{n}$ 的大小关系．
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-m x$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）求证：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ L +\frac{1}{n+n+1}>\ln 2\left(n \in N^*\right)$ ．
已知函数 $f(x)=2 a \ln x-x^2+a, a \in R$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明： $2 \ln (n+1)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ L +\frac{1}{n+1}\left(n \in N ^*\right)$ ．
已知函数 $f(x)=a x \ln x-x,(a \in R ))$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $x>1$ 时，$f(x)>-1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）对任意 $n \in N^*$ ，证明：$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+ L +\sqrt{\frac{n}{n+1}}+\ln \sqrt{n+1}>n$ ．
已知函数 $f(x)=k x, g(x)=\frac{\ln x}{x}$ ．
（1）若不等式 $f(x) \geq g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（2）求证：$\frac{\ln 2}{2^4}+\frac{\ln 3}{3^4}+\ldots+\frac{\ln n}{n^4} < \frac{1}{2 e } \quad\left(n \geq 2, n \in N^*, e\right.$ 为自然对数的底数）
已知函数 $f(x)= e ^{-x}-a e ^x, a \in R$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；
（2）已知 $a=1, m \geq \frac{1}{2}, x>1, g(x)=\ln x+m f(\ln x)$ ，求证：$g(x) < 0$ ；
（3）证明： $\ln 5 < \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+ L +\frac{1}{5 n}\left(n \in N ^*\right)$ ．
已知函数 $f(x)=a \ln x-a x-3(a \in R )$ ．
（1）若 $a=-1$ ，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $y=f(x)$ 的图象在点 $(2, f(2))$ 处的切线的倾斜角为 $45^{\circ}$ ，对于任意的 $t \in[1,2]$ ，函数 $g(x)=x^3+x^2$ $\left[f^{\prime}(x)+\frac{m}{n}\right]\left(f^{\prime}(x)\right.$ 是 $f(x)$ 的导函数 $)$ 在区间 $(t, 3)$ 上总不是单调函数，求 $m$ 的取值范围；
（3）求证：$\frac{\ln 2}{2} \times \frac{\ln 3}{3} \times \frac{\ln 4}{4} \times \ldots \times \frac{\ln n}{n} < \frac{1}{n} \quad\left(n \geq 2, n \in N^*\right)$
已知函数 $f(x)=a \ln x+1-x$ ．
（1）若 $f(x) \leq 0$ ，求 $a$ 的值；
（2）证明：当 $n \in N _{+}$且 $n \geq 2$ 时，$\frac{\ln 2}{2^2} \times \frac{\ln 3}{3^2} \times \frac{\ln 4}{4^2} \times L \times \frac{\ln n}{n^2} < \frac{1}{n}$ ．
已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x, g(x)=a x-2(a \in R )$
（1）若 $f(x) \geq g(x)$ 对任意的 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证： $\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4 \ldots \ln n>\frac{2^n}{n(n+1)} \quad\left(n \geq 2, n \in N _{+}\right)$．
设整数 $p>1, n \in N^*, x>-1$ 且 $x \neq 0$ ，函数 $f(x)=(1+x)^p-p x-1$ ．
（1）求证：$f(x)>0$ ；
（2）求证：$\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2 n-1}\right)>\sqrt{2 n+1}$ ．
已知函数 $f(x)=x \ln x, g(x)=\frac{a\left(x^2-x\right)}{2}$ ．
（1）若 $f(x) < g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证：$\left[1+\frac{1}{(n+1)^2}\right]\left[1+\frac{2}{(n+1)^2}\right] L\left[1+\frac{n}{(n+1)^2}\right] < \sqrt{ e }$
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)$ ．
（1）求证：当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$\frac{x}{1+x} < f(x) < x$ ；
（2）已知 e 为自然对数的底数，求证：$\forall n \in N^*, \sqrt{ e } < \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n}{n^2}\right) < e$ 。
已知函数 $f(x)=\sin x-x \cos x(x \geq 0)$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的图象在 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 处的切线方程；
（2）若任意 $x \in(0,+\infty)$ ，不等式 $f(x) \leq a x^3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）设 $g(x)=\frac{3}{x^2} f(x)$ ，证明：$\left[1+g\left(\frac{1}{3}\right)\right]\left[1+g\left(\frac{1}{3^2}\right)\right] \cdots\left[1+g\left(\frac{1}{3^n}\right)\right] < \sqrt{ e }$ 。
已知关于 $x$ 的函数 $f(x)=a x-\ln x-(1+\ln 2)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $n \in N ^*$ 时， $\ln (1 \times 2 \times 3 \times L \times n) < n^2-n \ln 2$ ．
已知函数 $f(x)= e ^x-\frac{1}{2} a x^2-x$
（1）若 $f(x)$ 单调递增，求 $a$ 的值；
（2）判断 $(1+1)\left(1+\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \quad\left(n \in N ^*\right.$ 且 $\left.n \geq 2\right)$ 与 $e ^2$ 的大小，并说明理由．