已知函数 $f(x)=a \ln x-a x-3(a \in R )$ ．
（1）若 $a=-1$ ，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $y=f(x)$ 的图象在点 $(2, f(2))$ 处的切线的倾斜角为 $45^{\circ}$ ，对于任意的 $t \in[1,2]$ ，函数 $g(x)=x^3+x^2$ $\left[f^{\prime}(x)+\frac{m}{n}\right]\left(f^{\prime}(x)\right.$ 是 $f(x)$ 的导函数 $)$ 在区间 $(t, 3)$ 上总不是单调函数，求 $m$ 的取值范围；
（3）求证：$\frac{\ln 2}{2} \times \frac{\ln 3}{3} \times \frac{\ln 4}{4} \times \ldots \times \frac{\ln n}{n} < \frac{1}{n} \quad\left(n \geq 2, n \in N^*\right)$