设函数 $f(x)=x^2-a(x+a \ln x)(a \in R , a \neq 0), f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a>0$ ，且 $f(1)+f^{\prime}(1)=0$ ，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
（3）利用（2）中的不等式证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\ldots+\frac{n+1}{n^2}>\ln (n+1)\left(n \in N ^*\right)$ ．