解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}-\alpha x$ ．
（1）若 $f(x) \leq-1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $f(x)$ 有 2 个不同的零点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$ ，求证： $2 x_1^2+3 x_2^2>\frac{12}{5 a}$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{1+\ln x}{a x}, a>0$ ．
（1）若 $f(x) \leqslant 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若存在 $x_1, x_2$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ，则 $x_1^2+x_2^2>2$ ．
已知函数 $f(x)= e ^x-x-1$ ．
（1）证明：$f(x) \geq 0$ ；
（2）当 $m £ 1$ 时，证明不等式 $e ^x-m x+\cos x-2 \geq 0$ ，在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立．
已知函数 $f(x)=x^3-a x+1$ ．
（1）当 $a=1$ 时，过点 $(1,0)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线 $l$ ，求 $l$ 的方程；
（2）当 $a \leq 0$ 时，对于任意 $x>0$ ，证明：$f(x)>\cos x$ ．
已知函数 $f(x)=\sin x-a x \cos x, a \in R$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=x$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）当 $a \geq \frac{1}{3}, x \in[0,+\infty)$ 时，求证：$f(x) \leq 2 a x$ ．
设函数 $f(x)= e ^x \cos x, g(x)=\frac{a \cos x}{ e ^{2 x}}, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小值，并证明： $e ^{\frac{\pi}{12}} < \sqrt{2}$ ；
（2）若不等式：$g(x) \geq 2- e ^{3 x}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
己知函数 $f(x)=\ln x+x^2-a x(a \in R)$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）设 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1, x_2$ ，且 $x_1 < x_2$ ，若 $0 < x_1 < \frac{1}{2}$ ，求证：$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>\frac{3}{4}-\ln 2$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x+a x^2-x$ ．
（1）若 $a=-1$ ，求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）设 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，若 $x_1, x_2$ 是函数 $f^{\prime}(x)$ 的两个不相等的零点，求证：$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ $ < x_1+x_2-5$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2+\ln x+m x, \quad(m \in R)$ ．
（1）若 $f(x)$ 存在两个极值点，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）若 $x_1, x_2$ 为 $f(x)$ 的两个极值点，证明：$\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{(m+2)^2}{8}$ ．
已知函数 $f(x)=4 e^{x-1}+a x^2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=b x+1$ ．
（1）求实数 $a, ~ b$ 的值；
（2）$x>0$ 且 $x \neq 1$ 时，证明：曲线 $y=f(x)$ 的图象恒在切线 $y=b x+1$ 的上方；
（3）证明：不等式： $4 x e^{x-1}-x^3-3 x-2 \ln x \ge 0$
已知函数 $f(x)=4 e ^{x^{-}} 1+a x^2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=b x+1$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）$x>0$ 且 $x \neq 1$ 时，证明：曲线 $y=f(x)$ 的图象恒在切线 $y=b x+1$ 的上方；
（3）证明不等式： $4 x e ^{x^{-1}}-x^3-3 x-2 \ln x \geq 0$ ．
已知函数 $f(x)=e^x-\ln (x+m)$（1）
（1）设 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $m$ 并讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $m \leq 2$ 时，证明：$f(x)>0$
已知函数 $f(x)=(x+1)^2+a \ln x+a x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a < 0$ 时，$f(x) \geq-\frac{3 a^2}{4}-2 a+1$ ．
已知函数 $f(x)=\sin x+x^2$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程，
（2）证明：$f(x)>-\frac{5}{16}$ ．
设函数 $f(x)=x^2-a(x+a \ln x)(a \in R , a \neq 0), f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a>0$ ，且 $f(1)+f^{\prime}(1)=0$ ，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？
（3）利用（2）中的不等式证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\ldots+\frac{n+1}{n^2}>\ln (n+1)\left(n \in N ^*\right)$ ．