设动点 $P$ 每次沿数轴的正方向移动，且第 i 次移动 1 个单位的概率为 $p_i$ ，移动 2 个单位的概率为 $1-p_i$ ．已知 $a_n$ 表示动点 $P$ 在数轴上第 $n$ 次移动后表示的数，在第一次移动前动点 $P$ 在数轴的原点处．
（1）若 $p_1=\frac{1}{2}, p_2=\frac{1}{3}$ ，求 $a_2=3$ 的概率；
（2）若每次移动 2 个单位的概率都是移动 1 个单位的概率的 2 倍．
① 求 $a_n=n+k(k=0,1,2, \cdots n)$ 的概率；
② 求动点 $P$ 能移动到自然数 $n$ 处的概率 $P_n\left(n \in N^*\right)$ ．