解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设动点 $P$ 每次沿数轴的正方向移动，且第 i 次移动 1 个单位的概率为 $p_i$ ，移动 2 个单位的概率为 $1-p_i$ ．已知 $a_n$ 表示动点 $P$ 在数轴上第 $n$ 次移动后表示的数，在第一次移动前动点 $P$ 在数轴的原点处．
（1）若 $p_1=\frac{1}{2}, p_2=\frac{1}{3}$ ，求 $a_2=3$ 的概率；
（2）若每次移动 2 个单位的概率都是移动 1 个单位的概率的 2 倍．
① 求 $a_n=n+k(k=0,1,2, \cdots n)$ 的概率；
② 求动点 $P$ 能移动到自然数 $n$ 处的概率 $P_n\left(n \in N^*\right)$ ．
在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 $R S A$ 加密算法中的应用。设 $p, q$ 是两个正整数，若 $p, q$ 的最大公约数是 1 ，则称 $p, q$ 互素．对于任意正整数 $n$ ，欧拉函数是不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数的个数，记为 $\varphi(n)$ ．
（1）试求 $\varphi(3), \varphi(9), \varphi(7), \varphi(21)$ 的值；
（2）设 $n$ 是一个正整数，$p, q$ 是两个不同的素数．试求 $\varphi\left(3^n\right), \varphi(p q)$ 与 $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 的关系；
（3）$R S A$ 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
① 准备两个不同的，足够大的素数 $p, q$ ；
② 计算 $n=p q$ ，欧拉函数 $\varphi(n)$ ；
③ 求正整数 $k$ ，使得 $k q$ 除以 $\varphi(n)$ 的余数是 1 ；
④其中 $(n, q)$ 称为公钥，$(n, k)$ 称为私钥．
已知计算机工程师在某 $R S A$ 加密算法中公布的公钥是 $(187,17)$ 。若满足题意的正整数 $k$ 从小到大排列得到一列数记为数列 $\left\{b_n\right\}$ ，数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $80 c_n=b_n+47$ ，求数列 $\left\{\tan c_n \cdot \tan c_{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同。若某天是甲管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{2}$ 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 $\frac{2}{3}$ 的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 $\frac{1}{3}$ 的概率是甲管理停车场．已知今年第 1 天管理停车场的是甲．
（1）求第 4 天是甲管理停车场的概率；
（2）求第 $n$ 天是甲管理停车场的概率；
（3）设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为 $X, Y, Z$ ，判断 $E(X), E(Y), E(Z)$ 的大小关系．（给出结论即可，不需要说明理由）
甲 乙丙三人进行传球游戏，每次投郑一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于 3 ，则甲将球传给乙，若点数不大于 3 ，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4 ，则乙将球传给甲，若点数不大于 4 ，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于 3 ，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3 ，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中。
（1）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）投掷 $n$ 次骰子后 $\left(n \in N ^*\right)$ ，记球在乙手中的概率为 $p_n$ ，求数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式；
（3）设 $d_n=\frac{2}{\left|3 p_n-1\right|}-2$ ，求证：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3} < \frac{d_1}{d_2}+\frac{d_2}{d_3}+\cdots+\frac{d_n}{d_{n+1}} < \frac{n}{2}\left(n \in N^*\right)$ ．
＂绿色出行，低碳环保＂的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚。甲，乙，丙三人为响应＂绿色出行，低碳环保＂号召，他们计划每天选择＂共享单车＂或＂地铁＂两种出行方式中的一种。他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙在每月第一天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{3}{4}$ ，从第二天起，若前一天选择＂共享单车＂，后一天继续选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，若前一天选择＂地铁＂，后一天继续选择＂地铁＂的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复．
（1）若 3 月 1 日有两人选择＂共享单车＂出行，求丙选择＂共享单车＂的概率；
（2）记甲，乙，丙三人中 3 月 1 日选择＂共享单车＂出行的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（3）求丙在 3 月份第 $n(n=1,2, \cdots, 31)$ 天选择＂共享单车＂的概率 $P_n$ ，并帮丙确定在 3 月份中选择＂共享单车＂的概率大于＂地铁＂的概率的天数．
这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来。据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客 304.79 万人次，实现旅游总收入 59.14 亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中 $75 \%$ 的游客计划只游览冰雪大世界，另外 $25 \%$ 的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人。每位游客若只游览冰雪大世界，则得到 1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得 2 份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人获得文旅纪念品的总个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；
（2）记 $n$ 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 $n+1$ 个的概率为 $a_n$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ；
（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取 100 人，这些游客得到纪念品的总个数恰为 $n$ 个的概率为 $b_n$ ，当 $b_n$ 取最大值时，求 $n$ 的值．
某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效。某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第 $n$ 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 $P_n$ ，证明：$\left\{P_n-\frac{3}{7}\right\}$ 为等比数列．
（3）求从第 1 天到第 10 天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10月 8 日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛。已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得 1 分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得 1分，且成为下一回合发球方。现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲，乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ；若乙发球，乙得分的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲得分的概率为 $\frac{1}{5}$ ．规定第 1 回合是甲先发球。
（1）求第 3 回合由甲发球的概率；
（2） ① 设第 i 回合是甲发球的概率为 $p_i$ ，证明：$\left\{p_i-\frac{1}{3}\right\}$ 是等比数列；
② 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i =1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=$ $\sum_{i=1}^n q_i$ ．若第 1 回合是甲先发球，求甲，乙连续进行 $n$ 个回合比赛后，甲的总得分的期望．
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 1 个黑球和 2 个白球。现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为 1 次球交换的操作，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$ ．
（1）求 $X_2$ 的概率分布列并求 $E\left(X_2\right)$ ；
（2）求证：$\left\{E\left(X_n\right)-\frac{3}{2}\right\}\left(n \geqslant 2\right.$ 且 $\left.n \in N^*\right)$ 为等比数列，并求出 $E\left(X_n\right)\left(n \geqslant 2\right.$ 且 $\left.n \in N^*\right)$ ．
甲，乙，丙 3 人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余 2 人之一，设 $P_n$ 表示经过 $n$ 次传递后球传到乙手中的概率。
（1）求 $P_1, P_2$ ；
（2）证明：$\left\{P_n-\frac{1}{3}\right\}$ 是等比数列，并求 $P_n$ ；
（3）已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i =1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次传球）中球传到乙手中的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ ．
定义： $\max \{a, b\}=$ $\left\{\begin{array}{l}a, a \geqslant b, \\ b, a < b,\end{array}, \min \{a, b\}=\left\{\begin{array}{l}b, a \geqslant b, \\ a, a < b,\end{array}\right.\right.$ 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n+\min \left\{a_{n+1}, a_{n+2}\right\}=\max \left\{a_{n+1}, a_{n+2}\right\}$ ．
（1）若 $a_2=2, a_3=3$ ，求 $a_1, a_4$ 的值；
（2）若 $\forall n \in N ^*, \exists k \in N ^*$ ，使得 $a_n \leqslant a_k$ 恒成立．探究：是否存在正整数 $p$ ，使得 $a_p=0$ ，若存在，求出 $p$ 的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，证明：不存在实数 $A$ ，使得 $\forall n \in N^*, a_n \leqslant A$ ．
已知各项均不为 0 的递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_1=2, a_2=4, a_n a_{n+1}=2 S_n\left(S_{n+1}+S_{n-1}-2 S_n\right)\left(n \in N ^*\right.$ ，且 $\left.n \geqslant 2\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ；
（2）定义首项为 2 且公比大于 1 的等比数列为＂$G$－数列＂．证明：
① 对任意 $k \leqslant 5$ 且 $k \in N^*$ ，存在＂$G-$ 数列＂$\left\{b_n\right\}$ ，使得 $b_k \leqslant a_k \leqslant b_{k+1}$ 成立；
② 当 $k \geqslant 6$ 且 $k \in N^*$ 时，不存在＂$G-$ 数列＂$\left\{c_n\right\}$ ，使得 $c_m \leqslant a_m \leqslant c_{m+1}$ 对任意正整数 $m \leqslant k$ 成立．
已知 $n$ 为正整数，数列 $X: x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，记 $S(X)=x_1+x_2+\cdots+x_n$ ．对于数列 $X$ ，总有 $x_k \in\{0,1\}, k=1,2, \cdots, n$ ，则称数列 $X$ 为 $n$ 项 0 $\sim 1$ 数列．若数列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n, B: b_1, b_2, \cdots, b_n$ ，均为 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列，定义数列 $A \otimes B: m_1, m_2, \cdots, m_n$ ，其中 $m_k=$ $1-\left|a_k-b_k\right|, k=1,2, \cdots, n$ ．
（1）已知数列 $A: 1,1,1,0, B: 0,0,1,1$ ，求 $\frac{S(A \otimes A)}{S(A \otimes B)}$ 的值；
（2）若数列 $A, B$ 均为 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列，求证：$S((A \otimes B) \otimes A)=S(B)$ ；
（3）对于任意给定的正整数 $n$ ，是否存在 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列 $A, B, C$ ，使得 $S(A \otimes B)+S(A \otimes C)+S(B \otimes C)=$ $2 n$ ，并说明理由．
对于数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ ，记 $\Delta a_n=$ $a_{n+1}-a_n$ ，称数列 $\left\{\Delta a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一阶差分数列；记 $\Delta^2 a_n=\Delta\left(\Delta a_n\right)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n$ ，称数列 $\left\{\Delta^2 a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的二阶差分数列，$\cdots$ ，一般地，对于 $k \in N$ ，记 $\Delta^{k+1} a_n=\Delta\left(\Delta^k a_n\right)=\Delta^k a_{n+1}-\Delta^k a_n$ ，规定：$\Delta^0 a_n=a_n, \Delta^1 a_n=$ $\Delta a_n$ ，称 $\left\{\Delta^k a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $k$ 阶差分数列。对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果 $\Delta^k a_n=d \neq 0$（ $d$ 为常数），则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $k$ 阶等差数列。
（1）数列 $\left\{n^2\right\}$ 是否为 $k$ 阶等差数列，如果是，求 $k$ 值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用 $a_1, \Delta a_1, \Delta^2 a_1, \Delta^3 a_1, \cdots$ 表示 $a_3, a_4$ ，并归纳出表示 $a_n$ 的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $k$ 阶等差数列，则其前 $n$ 项和为 $S_n=C_n^1 a_1+C_n^2 \Delta a_1+C_n^3$ $\Delta^2 a_1+\cdots+C_n^{k+1} \Delta^k a_1$ ；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个＂正三棱锥＂，巧合用了 2024 个球。第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3 个，第 3 层有 6 个球，$\cdots$ ，每层都摆放成＂正三角形＂，从第 2 层起，每层＂正三角形＂的＂边＂都比上一层的＂边＂多 1 个球，问：这位同学共堆积了多少层？
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若存在常数 $t$ ，使得 $a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n+t\left(n \in N ^*\right)$ 恒成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂．
（1）若 $c_n=1+\frac{1}{n}$ ，试判断数列 $\left\{c_n\right\}$ 是否为＂$H(t)$ 数列＂，请说明理由；
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂，且 $a_1=2$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，且 $\sum_{i=1}^n a_i^2=a_{n+1}+\log _2 b_n-t$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（3）若正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂，且 $a_1>1, t>0$ ，证明： $\ln a_n < a_n-1$ ．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $N_0 \in N ^*$ 和 $T \in N ^*$ ，使得对任意 $n \geqslant N_0$ 和 $k \in N ^*$ ，都有 $a_n=a_{n+k T}$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$P$ 数列＂；如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $N_0 \in N^*$ ，使得对任意 $j> i \geqslant N_0\left( i , j \in N^*\right)$ ，都有 $a_i \leqslant a_j$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$I$ 数列＂；
（1）在下列情况下，分别判断 $\left\{a_n\right\}$ 是否＂$P$ 数列＂，是否＂$I$ 数列＂？ ① $a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=-\left(a_n+a_{n+1}\right)$ ； ② $a_1=$ 5，$a_{n+1}=2\left|a_n-3\right| ;$
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}: a_1>a_2>0, a_{n+2}=\frac{k}{2}\left(a_{n+1}+a_n\right)$ 是＂$I$ 数列＂，其中 $k \in Z$ 且 $k \neq 0$ ，求 $k$ 的所有可能值；
（3）设＂$I$ 数列＂$\left\{a_n\right\}$ 和＂$P$ 数列＂$\left\{b_n\right\}$ 的各项均为正数，定义分段函数 $f(x), x \in[1,+\infty)$ 如下：记［ $x$ ］为＂不超过 $x$ 的最大正整数＂，$f(x)=f([x])=a_{[x]} b_{[x]}$ 证明：若 $f(x)$ 是周期函数，则 $\left\{a_n\right\}$ 是＂$P$ 数列＂．