若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $N_0 \in N ^*$ 和 $T \in N ^*$ ，使得对任意 $n \geqslant N_0$ 和 $k \in N ^*$ ，都有 $a_n=a_{n+k T}$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$P$ 数列＂；如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $N_0 \in N^*$ ，使得对任意 $j> i \geqslant N_0\left( i , j \in N^*\right)$ ，都有 $a_i \leqslant a_j$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$I$ 数列＂；
（1）在下列情况下，分别判断 $\left\{a_n\right\}$ 是否＂$P$ 数列＂，是否＂$I$ 数列＂？ ① $a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=-\left(a_n+a_{n+1}\right)$ ； ② $a_1=$ 5，$a_{n+1}=2\left|a_n-3\right| ;$
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}: a_1>a_2>0, a_{n+2}=\frac{k}{2}\left(a_{n+1}+a_n\right)$ 是＂$I$ 数列＂，其中 $k \in Z$ 且 $k \neq 0$ ，求 $k$ 的所有可能值；
（3）设＂$I$ 数列＂$\left\{a_n\right\}$ 和＂$P$ 数列＂$\left\{b_n\right\}$ 的各项均为正数，定义分段函数 $f(x), x \in[1,+\infty)$ 如下：记［ $x$ ］为＂不超过 $x$ 的最大正整数＂，$f(x)=f([x])=a_{[x]} b_{[x]}$ 证明：若 $f(x)$ 是周期函数，则 $\left\{a_n\right\}$ 是＂$P$ 数列＂．