某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效。某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第 $n$ 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 $P_n$ ，证明：$\left\{P_n-\frac{3}{7}\right\}$ 为等比数列．
（3）求从第 1 天到第 10 天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．