定义： $\max \{a, b\}=$ $\left\{\begin{array}{l}a, a \geqslant b, \\ b, a < b,\end{array}, \min \{a, b\}=\left\{\begin{array}{l}b, a \geqslant b, \\ a, a < b,\end{array}\right.\right.$ 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n+\min \left\{a_{n+1}, a_{n+2}\right\}=\max \left\{a_{n+1}, a_{n+2}\right\}$ ．
（1）若 $a_2=2, a_3=3$ ，求 $a_1, a_4$ 的值；
（2）若 $\forall n \in N ^*, \exists k \in N ^*$ ，使得 $a_n \leqslant a_k$ 恒成立．探究：是否存在正整数 $p$ ，使得 $a_p=0$ ，若存在，求出 $p$ 的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列，证明：不存在实数 $A$ ，使得 $\forall n \in N^*, a_n \leqslant A$ ．